Гонка лего
Предыдущая глава Следующая глава
В конце 17 века, Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) и Исаак Ньютон (1643—1727), независимо друг от друга, изобрели великолепный математический инструмент: исчисление бесконечно малых или дифференциальное и интегральное исчисление. Это — очень эффективный хрустальный шар для предсказания будущего, если исследуемая система задаётся дифференциальными уравнениями. Эта глава - введение в математический анализ в мире лего.
Как определить скорость идущего лего-человечка? Средняя скорость — это отношение пройденного расстояния к затраченному времени. Зная это, мы можем найти среднюю скорость каждого шага.
А что делать с движущимся автомобилем? Идея в том, чтобы рассматривать движение автомобиля как своеобразный предел движений маленькими шажками, когда шаги становятся настолько маленькими, что их невозможно разглядеть. Эта идея лежит в основе понятия производной и дифференциального исчисления.
Представьте себе текущую реку. В каждой точке реки можно вычислить скорость течения. Нарисуем в каждой точке стрелку, длина которой будет обозначать скорость, а направление будет совпадать с направлением движения воды. Такая стрелка называется вектором; и поскольку у нас в каждой точке построен вектор, мы получаем то, что математики называют векторным полем.
Интегральное исчисление — противоположность дифференциальному. Задача теперь состоит в том, чтобы вычислить траектории в известном векторном поле. Фильм показывает, как человечки лего, пытаясь двигаться вдоль векторного поля, оказываются вынуждены двигаться по предопределенному пути. В математике это явление известно как теорема Коши—Липшица. Она обобщает понятие о детерминированности: если дано («достаточно хорошее») векторное поле и начальное положение, то существует и единственна траектория, начинающаяся в этой точке и касающаяся в каждой точке этого поля.
Сформулированный таким образом детерминизм имеет свои пределы, что на простом примере показано в фильме. В 1879-м году физик Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879) настаивал на чувствительности физических явлений к начальным условиям.
« Есть максима... что одинаковые причины всегда производят одинаковым результатам [...] Есть и другая максима, которую не следует путать с первой, утверждающая, что “схожие причины приводят к схожим результатам''. Это верно, лишь когда малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям конечного состояния системы. В большом количестве физических процессов это условие выполнено; но есть и другие случаи, когда малое изменение начальных условий может повлечь большое изменение в конечном состоянии системы. »
В конце этой главы мы видим наших лего-человечков, летающих в своих маленьких космических кораблях. Картинки должны убедить нас, что в трёх измерениях ситуация может стать очень сложной.
Предыдущая глава Следующая глава