DAS lego rennen
Am Ende des 17. Jahrhunderts entwickelten Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) und Isaac Newton (1643-1727), unabhängig voneinander ein brillantes mathematisches Werkzeug: Die Infinitesimalrechnung oder Differential- und Integralrechnung. Dies ist eine unglaublich effiziente Kristallkugel, um die Zukunft vorherzusagen, vorausgesetzt die Bewegung eines Systems wird durch eine Differentialgleichung vorgegeben. Im zweiten Kapitel geht es um eine Einführung in die Integro-Differentialrechnung in der Lego Welt.
Wie können wir die Geschwindigkeit eines gehenden Lego Männchens definieren? Die mittlere Geschwindigkeit ist das Verhältnis aus zurückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit. Für jeden Schritt eines Lego Männchens können wir also die mittlere Geschwindigkeit des Schrittes errechnen.
Aber was ist mit einem fahrenden Auto? Die Idee ist hier die Bewegung eines Autos als Reihung von kleinen Schritten zu verstehen, so kleine Schritte, dass sie nicht mehr als solche wahrgenommen werden können. Das ist die Grundlage der Ableitung oder Differentialrechnung.
Stellen Sie sich einen Fluss vor. Für jeden Punkt des Flusses ist es möglich die Geschwindigkeit des Wassers an diesem Punkt zu errechnen. Dann nehmen wir die Zeichnung des Flusses und zeichnen einen Pfeil auf den fraglichen Punkt. Die länge des Pfeils stellt die Geschwindigkeit dar und die Richtung gibt die Richtung der Geschwindigkeit an. Ein solcher Pfeil wird Vektor genannt und wir haben einen solchen Vektor für jeden Punkt des Flusses. Mathematiker nennen das ein Vektorfeld.
Die Integralrechnung ist das Gegenteil der Differentialrechnung. Die Aufgabe ist nun die Ermittlung von Trajektorien in einem gegebenen Vektorfeld. Der Film zeigt, wie Lego Männchen sich durch ein Vektorfeld bewegen und keine Wahl haben, als dem vorgegebenen Pfad zu folgen. Mathematisch ist dies als Satz von Picard-Lindelöf bekannt und es fasst das Konzept des Determinismus zusammen: Bei einem gegebenen Vektorfeld und gegebenem Startpunkt gibt es nur eine einzige Trajektorie durch diesem Startpunkt und diese Trajektorie verläuft immer tangential zu den Geschwindigkeitsvektoren.
Determinismus wie wir ihn definiert haben unterliegt Beschränkungen, wie wir an einem einfachen Beispiel zeigen können. 1879 bestand James Clerk Maxwell (1831-1879) auf der Wichtigkeit der Anfangsbedingungen in physikalischen Phänomenen:
« Es ist eine metaphysische Lehre, dass aus gleichen Ursachen auch gleiche Wirkungen erwachsen. [...] Ein physikalisches Axiom, das in einem ähnliches Zusammenhang zu sehen ist, lautet, "dass aus ahnlichen Ursachen ähnliche Wirkungen folgen". Es gibt bestimmte Klassen von Phänomenen [...], in denen ein kleiner Fehler in den Ausgangsbedingungen nur einen kleinen Fehler im Ergebnis zur Folge hat.
Es gibt andere Klassen von Phänomenen, die komplizierter sind und in denen Instabilitäten auftreten können. [...] Es ist zu erwarten, dass es in Phänomenen höherer Komplexität eine große Zahl von Singularitäten gibt, in deren Nähe das Axiom über ähnliche Ursachen, die ähnliche Ergebnisse verursachen, nicht mehr gilt. »
Am Ende dieses Kapitels sehen wir unsere Lego Männchen in ihren kleinen Raumschiffen. Die Bilder sollten Sie überzeugen, dass nun - in drei Dimensionen - die Situation sehr kompliziert werden kann...