De lego race
Aan het einde van de XVIIe eeuw zetten, onafhankelijk van mekaar, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en Isaac Newton (1643-1727) een geniaal wiskundig stuk gereedschap op punt: het infinitesimaal rekenen of differentiaal- en integraal rekenen. Het gaat hier in zekere zin over een ongelofelijk efficïente kristallen bol om de toekomst te voorspellen, vanaf het ogenblik dat een systeem kan beschreven worden door een differentiaalvergelijking. Dit tweede hoofdstuk van Chaos is een eenvoudige initiatie in dit onderwerp in de wereld van lego mensjes.
Wat is de snelheid van een lego mannetje dat stappen neemt? De gemiddelde snelheid van een verplaatsing is de verhouding tussen de afgelegde weg en de tijd die daarvoor nodig was. Voor elke pas die het mannetje neemt kunnen we dus de gemiddelde snelheid van die pas berekenen.
Maar wat met een auto die rijdt? Het idee is om de beweging te beschouwen als een opeenvolging van kleine pasjes, alsof de auto snel na mekaar zeer kleine stapjes neemt die men niet meer ziet. Dit is het basisidee van het begrip afgeleide, of differentiaalrekenen.
Stel U de stroming voor in een rivier. In elk punt van de rivier kan men de snelheid van het water berekenen, en op een tekening van de rivier een pijltje tekenen vanaf dat punt, waarvan de richting en de lengte de snelheid in dat punt weergeeft. Zo'n pijltje noemt men een vector, en omdat we een vector hebben in elk punt van de rivier spreken we van een vectorveld.
Het integraalrekenen is het omgekeerde van het differentiaalrekenen. Vertrekkend van een vectorveld kunnen we daarmee de baan berekenen die een punt in het veld zal volgen. De film toont hoe lego mannetjes die zich voortbewegen in een dergelijk veld enkel een welbepaalde baan kunnen volgen. De exacte wiskundige uitdrukking hiervoor is gekend als de stelling van Cauchy-Lipschitz en deze vat het begrip determinisme samen: in een gegeven vectorveld en een gegeven positie in dat veld is er één unieke baan die uit dit punt vertrekt en die overal in het veld raakt aan de snelheidsvectoren.
Het wetenschappelijk determinisme zoals hierboven beschreven heeft echter zijn limieten, en de film toont dit aan met een eenvoudig voorbeeld. In 1879 wees de natuurkundige James Clerk Maxwell (1831-1879) op het belang van de gevoeligheid van fysische systemen voor de beginvoorwaarden.
« Er is een stelregel dat dezelfde oorzaken dezelfde gevolgen hebben [...] Maar er is er ook een andere die je niet mag verwarren met de eerste, namelijk dat bijna gelijke oorzaken ook bijna gelijke gevolgen hebben. Dat is alleen waar als kleine variaties in de begintoestand slechts leiden tot kleine variaties in de eindtoestand van het systeem ...In veel gevallen is dit zo, maar in andere gevallen kan een klein verschil in het begin leiden tot grote veranderingen op het einde. »
Tenslotte zien we lego mannetjes in hun ruimteschip bewegen in een vectorveld dat in de ruimte getekend is. De beelden tonen aan dat de situatie daarmee zeer ingewikkeld kan worden...