La coRSA DEI LEGO
Alla fine del XVII secolo, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727) mettono a punto, indipendentemente, uno strumento matematico prodigioso: il calcolo infinitesimale (o calcolo differenziale e integrale). Si tratta in qualche senso di una sfera di cristallo incredibilmente efficace per prevedere l'avvenire, dal momento che il moto di un sistema è governato da un'equazione differenziale. Questo secondo capitolo di Caos è in qualche modo un'introduzione al calcolo integro-differenziale nel mondo dei lego.
Come definire la velocità di un lego che cammina? La velocità media di uno spostamento è chiaramente il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato a percorrere questa distanza. Per ogni passo di un lego, possiamo calcolare la velocità media del passo.
Ma che dire allora quando studiamo un'automobile che si muove? L'idea è di considerare il moto della macchina come una specie di limite di moti scanditi a tratti, come se la macchina facesse dei passi così piccoli tanto da non distinguerli più, dei passi infinitamente vicini l'uno all'altro. Questa è l'idea alla base del concetto di derivazione o calcolo differenziale.
Prendiamo un fiume che scorre. In ogni punto, nel fiume, possiamo calcolare la velocità dell'acqua e descriverla con una freccia su un piccolo disegno. Tale freccia parte da questo punto, il senso indica la direzione in cui l'acqua scorre e la lunghezza misura la velocità. Tale freccia la chiamiamo vettore e poiché abbiamo un vettore per ogni punto nel fiume, i matematici parlano di campi vettoriali.
Il calcolo integrale, è il gioco inverso del calcolo differenziale. Partendo da un campo vettoriale, bisogna costruire le traiettorie. Il film mostra come i lego si ritrovino forzati a seguire il loro destino, volendo spostarsi lungo un campo vettoriale dato. L'enunciato matematico preciso è conosciuto sotto il nome di teorema di Cauchy-Lipschitz e riassume il concetto di determinismo: dato un campo vettoriale e una posizione iniziale, esiste un'unica traiettoria che parte da tal punto e che è tangente ad ogni punto del campo vettoriale.
Con un esempio molto semplice, il film mostra rapidamente come il determinismo scientifico abbia i suoi limiti. Dal 1879, il fisico James Clerk Maxwell (1831-1879) insisteva sulla sensibilità alle condizioni iniziali nei fenomeni fisici.
"C'è una massima secondo la quale le stesse cause producono sempre gli stessi effetti [...]. Ma c'è un'altra massima che non si deve confondere con la prima: che due cause simili producono degli effetti simili. Questo è vero solamente quando delle piccole variazioni sulle circostanze iniziali producono soltanto delle piccole variazioni sullo stato finale del sistema. Questo è vero in molti fenomeni fisici, ma ce ne sono altri per i quali una piccola variazione iniziale può produrre un grandissimo cambiamento sullo stato finale."
Infinie, al comando delle loro navicelle spaziali, i lego provano a spostarsi lungo un campo vettoriale nello spazio. Le immagini sono sufficienti per convicerci che la situazione può diventare estremamente complicata...