El libre albedrío
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A finales del siglo XVII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) y Isaac Newton (1643-1727) perfeccionaron de forma independiente una herramienta matemática prodigiosa: el cálculo infinitesimal o cálculo diferencial e integral. Se trata de una especie de bola de cristal increíblemente eficaz para predecir el futuro, siempre y cuando el movimiento de un sistema esté definido por una ecuación diferencial. Este capítulo de Caos es, de cierta forma, una iniciación al cálculo diferencial e integral en el mundo del lego.
¿Cómo determinar la velocidad de un lego que camina? La velocidad promedio es claramente la razón de la distancia recorrida entre el tiempo necesario para recorrer dicha distancia. Por cada paso que da un lego, podemos entonces calcular la velocidad promedio del paso.
¿Pero cómo determinar ahora la velocidad de un automóvil en movimiento? La idea es considerar el movimiento del automóvil como un cierto límite de movimientos espasmódicos, como si el automóvil diera pasos tan pequeños que no podemos percebirlos, pasos infinitamente cercanos los unos de los otros. Esta es la idea en la que se basa el concepto de derivada o de cálculo diferencial.
Imagine el curso de un río. En cada punto del río, podemos de esta forma calcular la velocidad del agua e indicarla en un dibujo con una flecha que inicia en dicho punto. La dirección de la flecha indica la dirección del agua y el largo, la velocidad. Esta flecha se llama vector y como tenemos un vector por cada punto del río, los matemáticos hablan de campo de vectores.
El cálculo integral es el juego inverso del cálculo diferencial. Empezando con un campo de vectores hay que construir trayectorias que lo sigan. La película muestra como los legos, que se desplazan siguiendo un campo de vectores dado, se encuentran forzados a seguir su destino. El enunciado matemático preciso se conoce como teorema de Cauchy-Lipschitz y condensa el concepto de movimiento determinista: dado un campo de vectores y una posición inicial, hay una única trayectoria que inicida en dicho punto y que es siempre tangente al campo de vectores.
Con un ejemplo muy sencillo, la película muestra que el determinismo científico, tal como había sido formulado anteriormente, tiene sus límites. Desde 1879, el físico James Clerk Maxwell (1831-1879) presentaba la sensibilidad de un fenómento físico a pequeños cambios de las condiciones iniciales.
« Hay un principio según el cual las mismas causas producen los mismos efectos [...]. Pero hay otro principio que no hay que confundir: que causas similares producen efectos similares. Esto es cierto sólo cuando pequeñas variaciones de las circunstancias iniciales producen pequeñas variaciones en el estado final de un sistema. Es cierto en muchos casos, pero hay otros casos en los cuales una pequeña variación inicial puede producir grandes cambios del estado final. »
Finalemente, al mando de sus naves espaciales, los legos se desplazan en el espacio siguiendo un campo de vectores. Las imágenes bastan para convencernos de que, en efecto, la situación puede volverse extremamente complicada...
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