A corrida dos legos
No final do século XVII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727) descobriram, de forma independente, uma ferramenta matemática prodigiosa : o cálculo infinitesimal ou cálculo diferencial e integral. Trata-se de um tipo de bola de cristal incrivelmente eficaz para prever o futuro, desde que o movimento do sistema seja regido por uma equação diferencial. Este segundo capítulo de Caos é de certa forma uma iniciação ao cálculo infinitesimal no mundo dos legos.
Como descrever a velocidade de um lego que caminha? A velocidade média de um deslocamento é entendida como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrer essa distância. Para cada passo dado por um lego, pode-se calcular a velocidade média do passo.
Mas, agora? O que acontece com um carro em movimento ? A ideia é considerar o movimento de um carro como uma espécie de limite de curtos movimentos, como se o carro desse passinhos tão pequenos que não fosse possível ver cada passo dado, infinitamente próximos uns dos outros. Esta é a ideia do conceito de derivada e cálculo diferencial.
Imaginem o curso de um regato. Em cada ponto desse regato, é possível calcular a velocidade da água e indicar, num pequeno desenho, uma flecha que parte deste ponto, cujo sentido indica o fluxo da água e o comprimento, a medida de sua velocidade. À tal flecha, se dá o nome de vetor e, como se pode ter um vetor em cada ponto do regato, os matemáticos falam de um campo de vetores.
O cálculo integral é o inverso do cálculo diferencial. Partindo de um campo de vetores, constroem-se suas trajetórias. O filme mostra então como os legos, que desejam se deslocar seguindo um campo de vetores dado, são obrigados a seguir a rota indicada. O enunciado matemático preciso é conhecido como teorema de Cauchy-Lipschitz e resume o conceito de determinismo: sendo dado um campo de vetores e uma posição inicial, existe uma única trajetória que parte deste ponto e que é tangente, em todos os pontos, a esse campo de vetores.
Num exemplo muito simples, o filme não demora a mostrar que o determinismo científico, de acordo com a fórmula precedente, tem seus limites. Desde 1879, o físico James Clerk Maxwell (1831-1879) insistiu sobre as condições iniciais nos fenômenos físicos.
« Existe um princípio segundo o qual as mesmas causas produzem os mesmos efeitos [...] Mas existe um outro princípio, com o qual não se pode confundir: causas semelhantes produzem efeitos semelhantes. Isto é verdadeiro unicamente se pequenas variações sobre as condições iniciais produzirem pequenas variações no estado final do sistema. Isto vale para muitos casos, mas não é verdade em outros para os quais uma pequena variação inicial pode produzir grandes mudanças no estado final. »
Finalmente, no controle de suas grandes naves espaciais, os legos começam a se deslocar seguindo um campo de vetores traçado no espaço. As imagens são suficientes para nos convencer que a situação pode, de fato, tornar-se extremamente complicada...
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Abaixo o capítulo II em português. Para escolher uma outra língua, acessar a lista de todos os capítulos e títulos, ou obter informações sobre a licença sob a qual este filme é difundido, ver a página O filme.