Chaos II : Champs de vecteurs

La course des legos

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À la fin du XVIIe siècle, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) et Isaac Newton (1643-1727) mettent indépendamment au point un outil mathématique prodigieux : le calcul infinitésimal ou calcul différentiel et intégral. Il s’agit en quelque sorte d’une boule de cristal incroyablement efficace pour prédire l’avenir, dès lors que le mouvement d’un système est régi par une équation différentielle. Ce deuxième chapitre de Chaos est d’une certaine façon une initiation à ce calcul intégro-différentiel dans le monde des legos.

Comment définir la vitesse d’un lego qui marche ? La vitesse moyenne d’un déplacement est bien entendu le rapport de la distance parcourue par le temps mis pour parcourir cette distance. Pour chaque pas fait par un lego, on peut donc calculer la vitesse moyenne du pas.

Mais qu’en est-il maintenant pour une voiture qui roule ? L’idée est de considérer le mouvement de la voiture comme une espèce de limite de mouvements saccadés, comme si la voiture faisait des pas si petits qu’on ne les perçoit plus, des pas infiniment proches les uns des autres. C’est l’idée de base du concept de dérivation ou calcul différentiel.

Imaginez le cours d’une rivière. En chaque point de la rivière, il est donc possible de calculer la vitesse de l’eau et de l’indiquer sur un petit dessin avec une flèche qui part de ce point, dont le sens indique l’écoulement de l’eau et dont la longueur mesure la vitesse. Une telle flèche s’appelle un vecteur et comme on a un vecteur en chaque point de la rivière, les mathématiciens parlent de champ de vecteurs.

Le calcul intégral, c’est le jeu inverse au calcul différentiel. Partant d’un champ de vecteurs, il faut construire les trajectoires. Le film montre donc comment les legos, souhaitant se déplacer suivant un champ de vecteurs donné, se retrouvent contraints à suivre leurs destinées. L’énoncé mathématique précis est connu sous le nom de théorème de Cauchy-Lipschitz et résume le concept de déterminisme : étant donné un champ de vecteurs et une position initiale, il y a une unique trajectoire qui part de ce point et qui est tangente en tout point à ce champ de vecteurs.

Sur un exemple très simple, le film ne tarde pas à montrer que le déterminisme scientifique tel que formulé précédemment a ses limites. Dès 1879, le physicien James Clerk Maxwell (1831-1879) insistait sur la sensibilité aux conditions initiales dans les phénomènes physiques.

« Il y a une maxime selon laquelle les mêmes causes produisent les mêmes effets [...]. Mais il y a une autre maxime qu’il ne faut pas confondre : que des causes semblables produisent des effets semblables. Cela est vrai uniquement si de petites variations sur les circonstances initiales produisent de petites variations sur l’état final du système. Cela est vrai dans beaucoup de cas, mais il y en a d’autres pour lesquels une petite variation initiale peut produire de grands changements dans l’état final. »

Finalement, aux commandes de leurs vaisseaux spatiaux, les legos se mettent en quête de se déplacer suivant un champ de vecteurs tracé dans l’espace. Les images suffisent à nous convaincre que la situation peut en effet devenir extrêmement compliquée...

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Ci-dessous le chapitre II en français. Pour choisir une autre langue, avoir accès à la liste de tous les chapitres et sous-titres, ou obtenir des informations à propos de la licence sous laquelle est diffusé ce film, voir la page Le film.

 

Commentaires

Quelle magnifiques mises en

Quelle magnifiques mises en scène et fascinantes leçons - à méditer - . Merci de livrer ces concepts avec leur fabuleuse histoire et rutilantes animations fort gaies.

Cette histoire de

Cette histoire de déterminisme et de petits écarts ayant de grandes répercussions m'ont immédiatement fait penser à Isaac Asimov , "inventeur" de la psycho-histoire qui traverse sa série "fondation". Il est vrai que cet écrivain était aussi un physicien.
Votre film est magnifique

Vraiment très pédagogique.

Vraiment très pédagogique.
Mais je trébuche une nouvelle fois sur l'infini en physique, cette fois-ci sur l'infiniment petit: "des pas infiniment proches les uns des autres". On arrive ainsi à une vitesse zéro, ce qui rappelle une histoire d'Achille et de tortue.

Non. La vitesse ne change pas

Non. La vitesse ne change pas. Plus les pas sont petits, plus il faut en faire. Les pas deviennent infiniment petits et il faut en faire une infinité.
La vitesse reste la même.

Merci pour ces videos.

Merci pour ces videos.
Par contre, il est dommage qu'il ne soit pas possible de les télécharger sans passer par un logiciel externe. Pourquoi ne pas les mettre à disposition sous la forme d'un fichier au format .mp4 (par exemple) ? Je ne sais pas si ça vient de ma connexion ou de mon navigateur, mais sous Youtube, la lecture est fréquemment interrompue par la mise en mémoire tampon (la petite roue qui tourne...) et c'est très frustrant.

Faut-il retoucher le

Faut-il retoucher le commentaire de Ch. Ravenne ? Moi, c'est dans le journal "le Monde" que j'ai trouvé l'information ...
Mais j'applaudis comme lui !

Superbe, je viens seulement

Superbe, je viens seulement de visionner les 2 premiers chapitres. Merci au monde pour avoir diffusé l'info, pour ma part, je vais donner l'adresse aux jeunes (et moins jeunes) que je fréquente. Bravo et encore merci.