Smale in Copacabana
Zuerst eine alte Idee von Henri Poincaré (1854-1912): Wenn wir ein Vektorfeld im Raum studieren, finden wir manchmal eine kleine Scheibe, die von den Bahnkurven des Feldes wiederholt durchlaufen wird. Die Untersuchung der Punkte, in denen die Bahnkurve die Scheibe kreuzt, ist oft viel einfacher als die Untersuchung des gesamten Vektorfeldes. Wir wechseln von der Dynamik kontinuierlicher Zeitabläufe zur Dynamik diskreter Zeitpunkte.
in den frühen 1960ern, arbeitete der junge amerikanische Mathematiker Steve Smale (* 1930) am Strand von Copacabana als er ein Hufeisen entdeckte. Es war eine Transformation der Fläche bestehend aus einer Skalierung, einer Stauchung und einer Faltung, die aus einem Quadrat ein Hufeisen formte.
Die Dynamik dieses Hufeisens ist sehr reich — sowohl in der Zukunft als auch in der Vergangenheit — und reproduziert sich bis ins Unendliche.Der Film zeigt auch einen Zoom in das Hufeisen, um die Komplexität dieses Gebildes zu demonstrieren.
Um die Dynamik dieses Objekt zu verstehen, nennen wir die beiden vertikalen Streifen A und B. Das erstaunliche ist, dass man fast die selben Resultate findet wie bei Hadamards Geodäten oder dem drei Hindernis billard. Für jedes Wort, dass nur die Buchstaben A und B enthält, gibt es einen Punkt der genau der Reihenfolge der Buchstaben dieses Wortes folgt, das gilt sogar für unendlich lange Worte. Alles ist möglich... ein schöner Slogan für das Chaos.
Aber es wird noch besser: Smale konnte zeigen, dass das Hufeisen stabil ist. Leichte Deformationen zerstören nicht die Fülle der inneren Dynamik. Die Sensibilität der Bahnkurven gegenüber den Anfangsbedingungen ist unzerstörbar. Mathematiker fassen das alles unter dem Begriff der strukturellen Stabilität zusammen. Wie der Film zeigt, weisen zwei benachbarte Hufeisen fast identische Dynamiken auf.
Das Nebeneinander von Chaos und damit der Instabilität einzelner Bahnen zusammen mit der strukturellen Stabilität — einer globalen Eigenschaft, ist absolut bemerkenswert.