Smale EM Copacabana
Este capítulo sexto começa explicando uma velha ideia de Henri Poincaré (1854-1912). Quando se estuda o campo de vetores no espaço, pode acontecer que seja possível encontrar um disquinho tal que, regularmente, as trajetórias o reencontrem. Em vez de estudar a trajetória no espaço, vamos nos contentar em estudar a sequência de pontos contida no disquinho. Muitas vezes, o estudo é bem mais simples: passa-se de uma dinâmica em tempo contínuo para uma dinâmica em tempo discreto.
No início dos anos de 1960, o jovem matemático americano Steve Smale (1930-...) trabalhava nas praias de Copacabana, quando descobriu uma ferradura : trata-se de uma transformação do plano que associa dilatação, contração e dobradura, transformando um quadrado em um tipo de ferradura.
A dinâmica da ferradura é extremamente rica, quer se considere o futuro ou o passado, com uma estrutura que se reproduz ao infinito. O filme faz um zoom na ferradura para permitir uma melhor observação de sua complexidade.
Como compreender a dinâmica de um tal objeto? A ideia é fazer como para o bilhar e chamar de A e B, as duas faixas verticais. O que é mais surpreendente é que se tem quase os mesmos resultados de Hadamard com suas geodésicas e o bilhar. Para cada sequência finita de A e B, mesmo tendo repetições, como por exemplo BABB, existe um ponto periódico que segue, exatamente esse itinerário. E isto acontece com todas as sequências infinitas. Não é incrível? Tudo é possível... um bom lema para o caos.
Mas há ainda melhor. Smale demonstra que a ferradura é estável. Deformá-la um pouquinho não destrói a riqueza de sua dinâmica interna: a sensibilidade das trajetórias às condições essenciais é bem presente, indestrutível. Os matemáticos esclarecem tudo isso sob o conceito de estabilidade estrutural, isso que o filme ilustra mostrando as dinâmicas de duas ferraduras, lado a lado, quase idênticas.
A coexistência do caos e, então, da instabilidade das trajetórias individuais, com a estabilidade estrutural, uma propriedade global, é um fato totalmente remarcável.
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Abaixo o capítulo VI em português. Para escolher uma outra língua, acessar a lista de todos os capítulos e títulos, ou obter informações sobre a licença sob a qual este filme é difundido, ver a página O filme.