Smale in Copacabana
Eerst een oud idee van Henri Poincaré (1854-1912). Als men een vectorveld in de ruimte bestudeert kan het gebeuren dat er een schijf te vinden is waar de banen regelmatig voorbijkomen. Men kan dan de opeenvolging van de punten besruderen waar de banen de schijf ontmoeten, veeleer dan het geheel van de banen. Zulk een studie is dikwijls veel eenvoudiger : men gaat over van de dynamiek in continue tijd naar een dynamiek in discrete tijd.
In de vroege jaren '60 was de jonge Amerikaanse wiskundige Steve Smale aan het werk op het strand van Copacabana toen hij een ontdekking deed...Hij ontdekte een hoefijzer! Geen echt ijzer, maar een wiskundig object: een combinatie van een schaalvergoting, een contractie en een plooiïng, die een vierkant verandert in een hoefijzer.
het hoefijzer heeft een zeer rijke dynamiek, zowel richting verleden als richting toekomst, en heeft een structuur die zich herhaalt tot in het oneindige.
Om die dynamiek te begrijpen noemen we de twee brede verticale banden A en B. Het verbazende is dat we gelijkaardige resultaten bekomen als Hadamard met zijn geodeten en de banen tussen de obstakels op het biljart. Voor elke woord met enkel de letters A en B, zelfs met herhalingen zoals bijvoorbeeld BABB, is er een punt waarvan de baan exact dat woord beschrijft. Zelfs als het woord oneindig lang is werkt dit nog. Alles is mogelijk! Een mooie slogan voor chaos.
Het kan nog beter. Smale toont aan dat het hoefijzer stabiel is. Als we het ijzer vervormen blijft de interne dynamiek behouden. De gevoeligheid voor beginvoorwaarden blijft aanwezig, onverwoestbaar. Wiskundigen noemen dit structurele stabiliteit.
Dat chaos, met zijn instabiliteit van individuele banen, naast elkaar kan bestaan met structurele stabiliteit, een globale eigenschap, is hoogst merkwaardig.