Smale en Copacabana
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Este sexto capítulo de Caos inicia por explicar una antigua idea de Henri Poincaré (1854-1912). Cuando estudiamos un campo de vectores en el espacio, puede suceder que las trayectorias intersecten regularmente un disco pequeño. En lugar de estudiar el conjunto de trayectorias en el espacio, nos contentamos con estudiar sucesiones de puntos contenidos en este disco. Frecuentemente, este estudio es mucho más sencillo: pasamos de una dinámca en tiempo continuo a una dinámica en tiempo discreto.
A inicios de los años 1960, el joven matemático estadunidense Steve Smale (1930-...) trabajaba en la playa de Copacabana cuando descrubrió una herradura: se trata de la transformación del plano que asocia una dobladura, una dilatación y una contracción, transformando un cuadrado en una especie de herradura.
La dinámica de la herradura es extremadamente rica, ya sea en tiempo futuro o pasado, con una estructura que se repite al infinito. La película muestra un zoom en la herradura para poder apreciar su complejidad.
¿Cómo entender la complejidad de un objeto como este? La idea es repetir lo que hicimos con el billar; llamamos A y B a las dos bandas verticales. Lo sorprendente es que tenemos casi los mismos resultados que obtuvo Hadamar con las geodésicas y el billar. Para cada sucesión finita de A y de B, incluso si permitimos las repeticiones como por ejemplo BABB, existe un punto periódico que sigue exactamente este itinerario. ¡Y funciona incluso para las sucesiones infinitas! ¿No es increíble? Todo es posible... un bello eslogan para el caos.
Pero hay todavía algo mejor. Smale demuestra que la herradura es estable. Deformarla ligeramente no destruye la riqueza de su dinámica: la sensibilidad de las trayectorias en las condiciones iniciales sigue presente, es indestructible. Los matemáticos especifican este concepto de la estabilidad estructural. La película lo ilustra mostrandonos en paralelo las dinámicas de dos herraduras casi idénticas.
La coexistencia del caos, es decir de la inestabilidad de las trayectorias individuales, con las estabilidad estructural, una propiedad global, es un hecho remarcable.
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