Smale A Copacabana
Questo sesto capitolo di Chaos comincia con lo spiegare una vecchia idea d’Henri Poincaré (1854-1912). Quando studiamo un campo vettoriale nello spazio, può succedere di trovare un piccolo disco tale che ogni traiettoria incontra questo disco infinite volte. Invece di studiare la totalità di una traiettoria nello spazio, ci accontentiamo di studiare la successione di punti contenuti nel piccolo disco. Spesso, lo studio è molto più semplice: siamo passati da una dinamica a tempo continuo a una dinamica a tempo discreto.
All'inizio degli anni '60, il giovane matematico americano Steve Smale (1930-...) lavorava sulla spiaggia di Copacabana quando scoprì un ferro di cavallo: si tratta di una trasformazione del piano che associa dilatazione, contrazione ma piega anche, trasformando un quadrato in una specie di ferro di cavallo.
La dinamica del ferro di cavallo è estremamente ricca, nel futuro come nel passato, con una struttura che si riproduce all'infinito. Il film mostra un ingrandimento nel ferro di cavallo per poter meglio apprezzare la sua complessità.
Come capire la dinamica di un oggetto simile? L'idea e di fare come abbiamo fatto nel biliardo e chiamare A e B le due strisce verticali. Quel che stupisce è che troviamo quasi i risultati di Hadamard con le sue geodetiche e il biliardo. Per ogni successione finita di A e B, permettendo delle ripetizioni, come per esempio BABB, esiste un punto periodico che segue esattamente questo itinerario. E funziona anche per le successioni infinite! Non è incredibile? Tutto è possibile... un bello slogan per il caos.
Ma c'è ancor di meglio. Smale dimostra che il ferro di cavallo è stabile. Deformarlo leggermente non distrugge la ricchezza della sua dinamica interna: la sensibilità delle traiettorie alle condizioni iniziali è ben presente, indistruttibile. I matematici precisano tutto ciò tramite il concetto di stabilità strutturale, e questo film lo dimostra presentando le dinamiche di due ferri di cavallo affiancati e quasi identici.
La coesistenza del caos, e dunque l'instabilità delle traiettorie individuali, con la stabilità strutturale, una proprietà globale, è un fatto decisamente notevole.