Chaos IX : Chaotique ou pas ?

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CHAP. PRÉC.

Il y a beaucoup de sortes de dynamiques. Certaines sont compliquées, d’autres non. Pour mieux comprendre tout cela, l’on peut partir d’un champ de vecteurs dans l’espace qui dépend d’un paramètre a et faire évoluer ce paramètre. Tantôt la dynamique est simple, tantôt elle devient compliquée. Comment comprendre ces bifurcations ? Quel est le comportement le plus fréquent dans la nature ?

Voilà de beaux problèmes pour les mathématiciens. Et lorsque l’on regarde la trace dessinée par l’attracteur sur un plan, quand le paramètre a varie, cela produit une dentelle que l’on appelle un diagramme de bifurcation. Joli mais pas facile à comprendre !

Bien sûr, le mathématicien cherche à établir des résultats qui sont toujours valables. Mais bien souvent, il commence par observer des exemples et nourrit secrètement l’espoir que ce qu’il voit sur un exemple simple pourrait être réalisé en toute généralité...

Comme nous l’avons vu, la proportion du temps passé dans une boule par une trajectoire converge vers une limite indépendante de la condition initiale : c’était l’idée de Lorenz (1917-2008) et des mesures de Sinaï-Ruelle-Bowen. Est-il raisonnable d’espérer que ceci puisse être toujours vrai ?

Hélas non, comme le montre un tout petit exemple découvert par Rufus Bowen (1947-1978). Mais le film nous montre qu’il n’y a aucune raison d’abandonner trop tôt cette idée car l’exemple de Bowen est en fait très particulier.

Dans les années 1990, le mathématicien brésilien Jacob Palis (1940-...) a formulé tout un ensemble de problèmes qui, s’ils étaient résolus, permettraient d’avoir une vision globale du chaos. Les conjectures de Palis sont des énoncés mathématiques précis, nécessairement techniques, qui reprennent un certain nombre d’idées présentées dans ce film :

  • un champ de vecteurs typique devrait avoir la propriété qu’il ne possède qu’un nombre fini d’attracteurs ;
  • une condition initiale typique devrait être attirée par l’un de ces attracteurs ;
  • à chaque attracteur, devrait être associée une mesure SRB qui décrit la statistique asymptotique des trajectoires typiques qu’elle attire.

Tout un groupe de mathématiciens s’attaquent énergiquement à ces conjectures et semblent les résoudre, en ce moment, petit bout par petit bout, méthodiquement. Mais il reste encore beaucoup de travail...

Aujourd’hui, on ne pense plus au déterminisme comme l’évolution d’une trajectoire individuelle, mais bien plus comme tout un ensemble en évolution collective. La sensibilité aux conditions initiales des trajectoires est compensée par une sorte de stabilité statistique de tout un ensemble. Cette image est-elle trop optimiste ? L’avenir le dira.

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CHAPITRE PRÉCÉDENT

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