Chaos IX : Chaotisch of niet?

Onderzoek vandaag

Vorig hfdst.

Er bestaan veel soorten van dynamiek. Sommige zijn ingewikkeld en andere niet. Om dat beter te begrijpen nemen we een vectorveld in de ruimte dat afhangt van een enkele parameter en laten die veranderen. Soms zien we dan een simpele dynamiek, en soms een zeer ingewikkelde. Hoe kunnen we die bifurcaties begrijpen?. 

Dat zijn mooie problemen voor wiskundigen! Als men het spoor bekijkt dat een attractor nalaat op een vlak als de parameter verandert, dan zien we een figuur die eruitziet als kant. Mooi, maar niet eenvoudig om te begrijpen!

Een wiskundige zoekt natuurlijk altijd naar resultaten die algemeen geldig zijn. Maar dikwijls zoekt hij daarom eerst bij eenvoudige situaties met de heimelijke hoop dat wat hij daar ontdekt ook in het algemeen geldig is.

We hebben al gezien dat het deel van de tijd dat een baan doorbrengt in een bepaald deel van een attractor convergeert naar een limiet die niet afhangt van de begintoestand. Dit was het idee van Lorenz en werd vertaald in de Sinaï-Ruelle-Bowen maat. Is het redelijk om dan aan te nemen dat dit altijd geldig is? Helaas, het antwoord is nee, en we kunnen dat aantonen met een eenvoudig, maar wel heel speciaal voorbeeld van Rufus Bowen (1947-1978). 

In de jaren1990 formuleerde de Braziliaanse wiskundige Jacob Palis een verzameling van problemen waarvan de oplossing een globale visie op chaos zou bieden. Dit zijn nauwkeurige wiskundige, en daarom vrij technische opgaven waarvan we er een aantal aan bod hebben laten komen in de film:

  • heeft een vecorveld slechts een eindig aantal attractors?
  • wordt een specifieke beginsituatie aangetrokken door één van die attractors?
  • kan men voor elke attractor een SRB maat vinden die de typische banen voor die attractor beschrijft?

Een hele groep van wiskundigen werkt nu hard aan deze vermoedens. Het ziet ernaar uit dat ze beetje bij beetje opgelost worden, op een systematische manier. Maar er is nog veel werk te doen...

Vandaag de dag bekijkt men het determinisme niet langer in termen van de evolutie van een individuele baan, maar eerder als de collectieve evolutie van een geheel. De gevoeligheid van de banen voor de beginvoorwaarden wordt gecompenseerd door een vorm van statistische stabiliteit van het geheel. Er lijkt een algemeen beeld naar voor te komen. Is dit beeld te optimistisch?

De tijd zal het leren.

Vorig hfdst.