A pesquisa, atualmente
Existem muitos tipos de dinâmicas. Algumas são complicadas e outras, não. Para uma melhor compreensão disto, podemos partir de um campo de vetores no espaço que depende de um parâmetro e fazer este parâmetro evoluir. Ora a dinâmica é mais simples, ora ela se torna complicada. Como entender essas bifurcações? Qual é o comportamento mais frequente na natureza?
Voilà de beaux problèmes pour les mathématiciens. Et lorsque l’on regarde la trace dessinée par l’attracteur sur un plan, quand le paramètre a varie, cela produit une dentelle que l’on appelle un diagramme de bifurcation. Joli mais pas facile à comprendre !
Bien sûr, le mathématicien cherche à établir des résultats qui sont toujours valables. Mais bien souvent, il commence par observer des exemples et nourrit secrètement l’espoir que ce qu’il voit sur un exemple simple pourrait être réalisé en toute généralité...
Como vimos, a proporção do tempo passado em uma bola por uma trajetória converge para um limite independente da condição inicial: esta era a idéia de Lorenz (1917-2008) e das medidas de Sinaï-Ruelle-Bowen. É razoável esperar que isto possa sempre ser verdadeiro?
Infelizmente não, como veremos num pequeno exemplo descoberto por Rufus Bowen (1947-1978). Mas o filme nos mostra que não há nenhuma razão para abandonar esta ideia tão cedo porque o exemplo de Bowen trata de um caso muito particular.
Na década de 1990, o matemático brasileiro Jacob Palis (1940 - ...) formulou uma série de problemas que, se tivessem sido resolvidos, permitiriam ter uma visão global do caos. As conjecturas de Palis são enunciados matemáticos precisos, necessariamente técnicos, que falam sobre um certo número de ideias apresentadas neste filme :
- um campo vetorial típico deveria ter a propriedade de ter só um número finito de atratores;
- uma condição inicial típica deveria ser atraída por um desses atratores ;
- a cada atrator, deveria ser associada uma medida SRB que descreva a estatística assintótica das trajetórias típicas que ele atrai.
Todo um grupo de matemáticos estudam vigorosamente essas conjecturas e parecem resolvê-las, neste momento, pouco a pouco, metodicamente. Mas ainda há muito trabalho...
Hoje, já não se acredita em determinismo como a evolução de uma trajetória individual, mas sim como um todo em evolução coletiva. A sensibilidade às condições iniciais das trajectórias é compensada por uma espécie de estabilidade estatística de todo um conjunto. Esta imagem é muito otimista? O futuro o dirá.
Abaixo o capítulo IX em português. Para escolher uma outra língua, acessar a lista de todos os capítulos e títulos, ou obter informações sobre a licença sob a qual este filme é difundido, ver a página O filme.