La rICERCA di OGGI
Ci sono molti tipi di dinamiche. Alcune sono complicate, altre no. Per capire meglio tutto ciò, possiamo partire da un campo vettoriale nello spazio che dipende da un parametro e fare evolvere questo parametro. Ora la dinamica è semplice, ora diventa complicata. Come capire queste biforcazioni? Qual è il comportamento più frequente in natura?
Ecco dei bei problemi per i matematici. E quando osserviamo la scia disegnata dall'attrattore su un piano, al variare del parametro a, esso produce un merletto che chiamiamo diagramma di biforcazione. Bello, ma certo non facile da capire!
Certo, il matematico prova a stabilire dei risultati che siano sempre validi. Ma a volte, comincia osservando degli esempi e cova la speranza che ciò che vede su un esempio semplice possa essere realizzato in gran generalità...
Come abbiamo poututo vedere, la proporzione di tempo che una traiettoria passa in una palla, converge ad un limite indipendente dalla condizione inziale: era l'idea di Lorenz (1917-2008) e delle misure di Sinai-Ruelle-Bowen. È forse ragionevole sperare che ciò possa essere sempre vero?
Eh no, come possiamo vedere su un semplicissimo esempio scoperto da Rufus Bowen (1947-1978). Ma il film ci mostra che non c'è nessuna ragione per abbandonare troppo presto questa idea perché l'esempio di Bowen è in realtà molto particolare.
Negli anni '90, il matematico brasiliano Jacob Palis (1940-...) ha formulato una lista di problemi che, se fossero risolti, permetterebbero di avere una visione globale del caos. Le congetture di Palis sono degli enunciati matematici precisi, necessariamente tecnici, che riprendono un certo numero di idee presentate in questo film:
- un campo vettoriale tipico dovrebbe avere la proprietà di possedere soltato un numero finito di attrattori;
- una condizione iniziale tipica dovrebbe essere attirata da uno di questi attrattori;
- ad ogni attrattore, dovrebbe essere associata una misura SRB che descriva la statistica asintotica delle traiettorie tipiche che esso attira.
Un gruppo intero di matematici attacca energicamente queste congetture e sembrano risolverle, in questo momento, pezzo a pezzo, metodicamente. Ma resta ancora molto lavoro...
Oggi, non si pensa più al determinismo come all'evoluzione di una singola traiettoria, ma piuttosto come ad un insieme in evoluzione collettiva. La sensibilità alle condizioni iniziali è compensata da una specie di stabilità stocastica di un insieme intero. Questa immagine è troppo ottimistica? L'avvenire ce lo dirà.