Chaos VI : Chaos et fer à cheval

Smale à Copacabana

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Ce sixième chapitre de Chaos commence par expliquer une vieille idée d’Henri Poincaré (1854-1912). Lorsque l’on étudie un champ de vecteurs dans l’espace, il peut arriver que l’on puisse trouver un petit disque tel que régulièrement les trajectoires rencontrent ce disque. Plutôt que d’étudier l’ensemble d’une trajectoire dans l’espace, on se contente alors d’étudier la suite de points contenue dans le petit disque. Souvent, l’étude est beaucoup plus simple : on est passé d’une dynamique en temps continu à une dynamique en temps discret.

Au début des années 1960, le jeune mathématicien américain Steve Smale (1930-...) travaillait sur la plage de Copacabana lorsqu’il découvrit un fer à cheval : il s’agit d’une transformation du plan qui associe dilatation, contraction et repliement, transformant un carré en une sorte de fer à cheval.

La dynamique du fer à cheval est extrêmement riche, que ce soit dans le futur ou dans le passé, avec une structure qui se reproduit à l’infini. Le film montre d’ailleurs un zoom dans le fer à cheval pour mieux apprécier sa complexité.

Comment comprendre la dynamique d’un tel objet ? L’idée est de faire comme pour le billard et d’appeler A et B les deux bandes verticales. La chose étonnante est qu’on a presque les mêmes résultats qu’Hadamard avec ses géodésiques et le billard. Pour chaque suite finie de A et de B, même en s’autorisant des répétitions, comme par exemple BABB, il existe un point périodique qui suit exactement cet itinéraire. Et ça marche même pour des suites infinies ! N’est-ce pas incroyable ? Tout est possible... un beau slogan pour le chaos.

Mais il y a mieux encore. Smale démontre que le fer à cheval est stable. Le déformer légèrement ne détruit pas la richesse de sa dynamique interne : la sensibilité des trajectoires aux conditions initiales est bien présente, indestructible. Les mathématiciens précisent tout ceci sous le concept de stabilité structurelle, ce qu’illustre le film en montrant les dynamiques de deux fers à cheval côte à côte presque identiques.

La coexistence du chaos, et donc de l’instabilité des trajectoires individuelles, avec la stabilité structurelle, une propriété globale, est un fait absolument remarquable.

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Ci-dessous le chapitre VI en français. Pour choisir une autre langue, avoir accès à la liste de tous les chapitres et sous-titres, ou obtenir des informations à propos de la licence sous laquelle est diffusé ce film, voir la page Le film.

Commentaires

Un travail magnifique, tant

Un travail magnifique, tant par la pédagogie que par la qualité des représentations. Une question néanmoins me taraude ! On connait donc des situations où les trajectoires individuelles sont instables mais où, cachés derrière cette instabilité, on retrouve un ordre, une logique structurelle ; je pense aussi à des objets comme le "groupe du tas de sable", mais connait-on des modèles totalement chaotiques ?

FASCINANT et exposé

FASCINANT et exposé remarquable;
est-ce qu'il s'agit de self-similarité et quel est le rapport avec une structure fractale??? Est-il scandaleux d'utiliser le terme fractal en rapport avec ces travaux???
Je suis cardiologue et j'essaie d'utiliser les outils mathématiques pour comprendre le fonctionnement du coeur et de là, arriver à prédire ou prévoir le pronostic de certains patients; si on applique ces concepts à la structure cardiaque, on devine que la structure est stable (on a en effet globalement le même coeur) mais on ne peut prédire le comportement d'un organe individuel. En clair, il semble présomptueux d'utiliser ces idées mathématiques pour prédire la survenue d'une arythmie cardiaque.

@ Anonyme : Si tu comprends

@ Anonyme : Si tu comprends pas et que le sujet t'intéresse, il y a 2 bonnes références pour commencer :
- Dieu joue-t'il aux dés ? Ian Stewart (plutôt vulgarisation et se lit comme une histoire)
- L'ordre dans le chaos. Pierre Bergé, Yves Pomeau, Christian Vidal (plus technique mais avec une approche de physicien-chimiste assez accessible via des exemples)