IL toro di duhem
Per attaccare un problema così complesso come quello del moto dei corpi celesti, è ben ragionevole cominciare con lo studiare delle situazioni molto semplificate. Se il moto di una pallina che rotola senza attrito in una scodella non pare troppo duro da capire, ma è tutta un'altra storia se la scodella è un po' abbozzata... Sì, il moto diventa improvvisamente molto complicato.
All'inizio del XX secolo, il filosofo della scienza Pierre Duhem (1861-1916) si diletta nel presentare l'opera del matematico Jacques Hadamard (1865-1963), pubblicata nel 1898 in un articolo intitolato Sur les géodésiques des surfaces à courbures opposées, in un modo fantasioso: lanciamo una pallina che ora rotola senza attrito sulla fronte di un toro al quale abbiamo allungato le corna all'infinito. Che idea stramba!
In questo capitolo, proviamo a spiegare le idee di Hadamard con un esempio diverso ma dopotutto molto ravvicinato alle geodetiche sulle superfici a curvature opposte: si tratta del gioco del biliardo. Cosa constatiamo quando introduciamo degli ostacoli cilindrici al centro di un tavolo da biliardo? Che due palle lanciate in due direzioni molto ravvicinate possono vedere le loro traiettorie diventare velocemente completamente diverse.
Ma c'è di meglio. Se introduciamo tre cilindri A, B e C sul tavolo, allora per ogni parola composta con queste tre lettere, ad esempio ABABCABC, esiste un'unica traiettoria periodica che visita successivamente i tre cilindri nell'ordine dettato dalle lettere. Questa codifica delle traiettorie con le parole composte dalle lettere A, B e C ricorda tra l'altro la scrittura dei numeri reali...
Duhem prosegue la sua descrizione fantasiosa di una massa materiale che rotola sulla fronte di un toro con queste parole.
"Per prima cosa, ci sono delle geodetiche che si chiudono su loro stesse. Ce ne sono anche che, senza mai ripassare esattamente al loro punto di partenza, non se ne allontanano mai infinitamente; le une girano senza cessa attorno al corno destro, le altre attorno al corno sinistro, [...] altre ancora, più complicate, fanno alternare seguendo certe regole i giri che descrivono attorno a un corno con i giri che descrivono attorno all'altro corno [...]. Sulla fronte del nostro toro [...] ci saranno delle geodetiche che se ne vanno all'infinito, le une, si inerpicano sul corno destro, le altre, si inerpicano sul corno sinistro [...]."
Due geodetiche che partono in direzioni molto vicine hanno futuri molto diversi, come espresso con sapiente arte da Duhem.
"Se dunque un punto materiale viene lanciato sulla superficie studiata, a partire da una posizione geometricamente data con una velocità geometricamente data, la deduzione matematica può determinare la traiettoria di questo punto e dire se questa traiettoria si allontana o no all'infinito. Ma per il fisico, questa deduzione è sempre e comunque inutilizzabile."
Apprezzate la sottigliezza: la deduzione matematica è possibile ma è inutilizzabile per il fisico. Tra la teoria e la pratica, c'è tutto un mondo.