De stier van Duhem
Om de bewegingen van hemellichamen te proberen begrijpen kunnen we eerst een eenvoudiger probleem aanpakken: De beweging van een balletje in een schaal lijkt niet zo moeilijk, maar als we een schaal nemen met een paar bulten, dan wordt de beweging plots enorm ingewikkeld.
De wetenschapsfilosoof Pierre Duhem (1861-1916) stelt in het begin van de XXe eeuw het werk voor dat de wiskundige Jacques Hadamard (1865-1963) publiceerde in 1898 aangaande "Geodetische lijnen op oppervlakken met tegengestelde kromming". Om het aanschouwelijk voor te stellen sprak Duhem van een bal die zonder wrijving schuift over de kop van een stier met oneindig lange horens. Een raar idee!
We proberen in dit hoofdstuk de ideën van Hadamard uit te leggen met nog een ander voorbeeld : een biljart. Als we een obstakel op een biljart plaatsen, dan zullen twee ballen die in bijna dezelfde richting weggeschoten worden zeer snel zeer verschillende banen volgen.
Het kan nog beter. Met drie cirkelvormige obstakels A, B et C op de tafel, bestaat er een unieke baan die de drie obstakels herhaaldelijk raakt, bijvoorbeeld ABABCABC. Voor elk woord met de drie letters (twee keer na mekaar hetzelfde obstakels niet toegelaten) is er zo een baan te vinden. Een dergelijk periodiek woord is ook terug te vinden in de rationale getallen.
Duhem vervolgt aldus zijn betoog over een massa die over de kop van een stier glijdt
« Om te beginnen zijn er geodeten die een gesloten kromme vormen. Er zijn er ook die, zonder ooit terug te keren naar hun beginpunt er toch nooit oneindig ver van weg gaan. Sommige draaien onophoudelijk rond de eerste hoorn, en andere rond de tweede. [...] Nog andere, meer gecompliceerde geodeten draaien afwisselend volgens bepaalde regels een aantal keer rond de eerste hoorn en aan aantal keer rond de tweede, [...] Op het voorhoofd van onze stier [...] zijn er ook geodeten zijn die naar oneindig gaan, de ene klimmen op de rechter hoorn, de andere op de linker. »
Twee geodeten die vanuit hetzelfde punt in nagenoeg dezelfde richting vertrekken volgen vrij snel verschillende banen. Duhem zegt het zo:
« Dus: als we een punt loslaten op een oppervlak, vanuit een beginpositie en met een beginsnelheid die meetkundig bepaald zijn, dan kan men wiskundig de baan van dit punt berekenen en bepalen of het punt op de duur naar oneindig gaat of niet. Maar voor de natuurkundige is deze berekening volledig onbruikbaar. »
Let op het subtiele verschil : wat wiskundig mogelijk is, is onbruikbaar voor de natuurkundige. Er is een groot verschil tussen de theorie en de praktijk!