单摆
我们需要两个数字来描述一个摆动的钟摆 :其一是它的位置，也就是摆线与垂线之间的夹角；其二是速度，其符号代表了它是从左到右还是从右到左。如果没有摩擦力，一个钟摆会无休无止地摆下去。伽利略·伽利莱在小时候就注意到这点了。是摩擦力使钟摆在一段时间之后停下的。
为了让一个钟摆持续摆动，我们需要推它。摩擦力使钟摆慢下来，不过如果我们在合适的时间，从合适的方向去推它，我们还是可以使它保持摆动的。我们可以将位置和速度放在图上，获得相位图。在我们的情况之中，相位图会成为一条美丽地封闭曲线。亨利·庞加莱称之为极限环。
1930年代的洛特卡－沃尔泰拉模型，是另外一个有关极限环的著名例子：两个种族在同一片陆地上生存：鸭子和睡莲。假设鸭子吃睡莲，那么当有许多睡莲的时候，鸭子也会吃饱喝足，数量也会增加。不过当有太多鸭子的时候，睡莲也会被大量吃掉，睡莲的数量也减少了。鸭子的数量因为没有实物所以也减少，使得睡莲增加。因此，这个环是封闭的，然后这个过程可以循环往复。
十九世纪末期，庞加莱创立了动力系统的理论。其奠基定理之一，似乎验证了这个信念。他认为，如此的运动，可能需要经过一段过渡时期，终会以一种稳定的状态结束：抑或是所有都停止，抑或是周期性的振动。这个理论适用于平面上的向量场。
.
这是庞加莱-本迪克森定理。其基本思想是不存在循环：一个不经过 p 点的轨迹可以回到P点的任意小邻域，但是并不可能彻底回到 p点（除非P点是周期性轨迹上的一点）。
这个定理仅仅是动力系统理论之一，不过它只是在平面上适用。庞加莱很快就发现了，对于空间中的向量场，我们将看到很多丰富多彩且令人惊艳的现象，不再有漂亮的极限环。让我们大步踏入混沌的世界中吧。
VERSION PDF DE CETTE PAGE ET COMMENTAIRES DU CHAPITRE
CHAPITRE PRÉCÉDENT CHAPITRE SUIVANT
Ci-dessous le chapitre IV en français. Pour choisir une autre langue, avoir accès à la liste de tous les chapitres et sous-titres, ou obtenir des informations à propos de la licence sous laquelle est diffusé ce film, voir la page Le film.